Calculs de la dérivée de quotients divers - Exemple 2

On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur  `]0;+\infty[` par

`f(x)=\frac{3\sqrt(x)+2}{x}` .

La fonction  `f`  est sous la forme d'un quotient du type  `u/v` avec :  `\color{green}{u(x)=3\sqrt(x)+2} \ \text(et) \ \color{red}{v(x)=x}` . 

Sur  `]0;+\infty[` , les fonctions  `u`  et  `v`  sont dérivables et non nulles donc  `f`  est dérivable sur  `]0;+\infty[`  et du type  `f'=(u'v-uv')/v^2` . Comme :  `\color{green}{u'(x)=3/(2\sqrt(x))} \ \text(et )\color{red}{v'(x)=1}` , on a pour tout  `x\in]0;+\infty[`  : 

`f'(x)=\frac{\color{green}{3/(2\sqrt(x)}}\color{red}{x}-\color{green}{(3\sqrt(x)+2)}\times\color{red}{1}}{\color{red}{x^2}}=\frac{3/2\sqrt(x)-3\sqrt(x)-2}{x^2}`

on a donc :  `f'(x)=\frac{-3/2\sqrt(x)-2}{x^2}=\frac{-3\sqrt(x)-4}{2x^2}` .